Analyse I pour Ingénieurs et Scientifiques

Joachim STUBBE*

14 septembre 2014

Résumé

Durant ce premier semestre, nous allons réviser et approfondir la théorie et la pratique du calcul différentiel et du calcul intégral. Après un bref discours sur les propriétés des nombres et s’être familiarisé avec les techniques élémentaires des démonstrations mathématiques, nous présentons le concept central du cours d’analyse qui représente un traitement de l’infini : le processus de limite et la notion de convergence. Un fil rouge de l’analyse est de chercher des conditions qui nous permettent de permuter d’autres opérations avec le processus de limite, afin de faciliter le calcul avec ce concept. Les règles de calcul pour les limites des suites (ainsi que pour les fonctions) nous montrent que nous pouvons permuter les opérations algébriques avec le processus de limite. Ce résultat n’est pas du tout évident comme nous allons voir en cas des séries : dans une somme d’un nombre infini d’éléments nous ne pouvons plus appliquer la commutativité de l’addition sans précaution. Il nous faut en effet une notion plus forte de convergence, celle d’une série absolument convergente. En suivant le fil rouge, nous introduisons la notion d’une fonction continue qui signifie que nous pouvons permuter le processus de limite avec l’application de la fonction. En considérant des suites de fonctions, nous étudions ensuite la commutativité de deux processus de limites différents. De nouveau, il faut introduire une nouvelle notion de convergence pour pouvoir permuter ces limites : celle de la convergence uniforme. Elle préserve nn particulier la notion de continuité : la limite uniforme de fonctions continues est continue. La notion de dérivée nous permet d’exprimer ” la pente d’une fonction ” et en particulier la définition de la vitesse à un instant donné pour un mouvement non uniforme, un concept formulé déjà par Isaac Newton (1643 - 1727) dans sa présentation de la mécanique analytique. Avec la notion de dérivée, nous ouvrons la porte à l’étude des fonctions et en particulier au problème d’approximation locale d’une fonction par un polynôme et sa représentation par une série entière qui nous permet de permuter les processus de limite de la série avec celui de la dérivée. L’intégration est l’opération réciproque de la dérivée et est liés géométriquement au calcul des aires. En mécanique l’intégration nous permet de déterminer la trajectoire d’une particule à partir sa vitesse ou mathématiquement de résoudre des équations différentielles que nous allons étudier au deuxième semestre.



Je remercie tout particulièrement Peter Wittwer pour les discussions innombrables et ses critiques constructives qui m'ont permis de mieux structurer le contenu et sa présentation. Je remercie également Monsieur Cyril Lagger pour les nombreuses améliorations qu'il a apporté à ces notes des cours.


© Joachim Stubbe,2013

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