Algèbre linéaire 2006/07

Algèbre linéaire I et II

Cours de 1ère année de Bachelor:
Sections de mathématiques et de physique

Année académique 2006/2007

Assistante principale: Christine Vespa

Assistants: Ilias Amrani, Jan Brunner, Cédric Bujard, Olivier Isely, Théophile Naïto, Samuel Wüthrich

Assistants-étudiants: Anna Devic, Sébastien Guex, Shahin Tavakoli

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Horaire (Nouveau: Horaire RAQ avant le propé!)
Programme
Bibliographie
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"L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite;
la géométrie n'est qu'une algèbre figurée."
Sophie Germain

L’algèbre linéaire consiste en l’étude d’espaces vectoriels et d’applications linéaires entre espaces vectoriels. Un espace vectoriel est un ensemble doté d’une opération d’ “addition” et d’une opération de “multiplication par scalaires”, lesquelles vérifient une certaine liste d’axiomes. Ces axiomes gouvernent aussi bien les propriétés de chaque opération, que la compatabilité entre les deux opérations. Une application f d’un espace vectoriel V vers un espace vectoriel W est dite linéaire si elle respecte l’essentiel de cette structure. Les applications linéaires servent à relier et à comparer les espaces vectoriels entre eux.

La notion d’espace vectoriel englobe des objets familiers aussi bien algébriques que géométriques : l’ensemble de polynômes à coefficients réels et l’ensemble Rⁿ des n-tuples de nombres réels admettent tous les deux des structures d’espace vectoriel. L’algèbre linéaire nous permet ainsi de traduire dans un contexte purement algébrique des notions et façons de penser qui proviennent de la géométrie.

D’un point de vue computationnel, l’algèbre linéaire nous fournit des outils pour étudier les systèmes d’équations linéaires, que l’on peut décrire en termes de matrices. Or une matrice à m lignes et n colonnes n’est qu’une façon de représenter une application linéaire de Rⁿ vers R^m! Cette observation nous ouvre la porte à l’application des méthodes de l’algèbre linéaire à l’étude des solutions possible de systèmes d’équations linéaires.

Dans ce cours nous prendrons une approche surtout axiomatique à l’algèbre linéaire, sans pour autant négliger les applications computationnelles de la théorie.

Horaire

Cours: les lundis de 13h15 à 14h et les jeudis de 11h15 à 13h

Exercices: les lundis de 14h15 à 16h

Salles: CO/1 (cours lundi) et CE/6 (cours jeudi); CM/10, CM/121, CO/122 et CO/123 (exos)

Réponses aux questions: voir planning

Réponses aux questions avant le propé: planning

Programme

I. Ensembles et applications

. Eléments de la théorie des ensembles, relations d’équivalence

II. Espaces vectoriels de dimension finie

. Corps, définition et propriétés d’espaces vectoriels, sousespaces, sommes et sommes directes, indépendance linéaire, listes génératrices, bases, dimension

III. Applications linéaires

. Définition et exemples, noyau et image, applications inversibles

IV. Matrices et systèmes d’équations linéaires

. Algorithme de Gauss-Jordan, inversion de matrices, un premier aperçu du déterminant

V. Valeurs propres et vecteurs propres

. Sousespaces invariants, polynômes et opérateurs, matrices triangulaires, matrices diagonales

VI. Produits scalaires

. Produits scalaires, normes, bases orthonormales, projection orthogonales et minimisation, fonctionnels linéaires et adjoints

VII. Opérateurs sur espaces avec produit scalaire

. Opérateurs auto-adjoints et normaux, le théorème spectral, isométries

VIII. Opérateurs sur espaces vectoriels complexes

. Valeurs propres généralisées, le polynôme caractéristique, la décomposition d’un opérateur, le polynôme minimal, la forme de Jordan

IX. Opérateurs sur espaces vectoriels réels

. Valeurs propres de matrices carrées, matrices triangulaires par blocs, le polynôme caractéristique

XI. La trace et le déterminant

. Changements de base, la trace, le déterminant d’un opérateur, le déterminant d’une matrice

Bibliographie

S. Axler, Linear Algebra Done Right (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1997.

K. Hoffman et R. Kunze, Linear Algebra (Second Edition), Prentice Hall, 1971.

K. Jänich, Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1994.

S. Lang, Introduction to Linear Algebra (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.

R. Valenza, Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993.

Ce cours sera basé principalement sur le livre d’Axler.

Séries et corrigés

(fichiers pdf)

Série 1	Corrigé 1
Série 2	Corrigé 2
Série 3	Corrigé 3
Série 4	Corrigé 4
Série 5	Corrigé 5
Série 6	Corrigé 6
Série 7	Corrigé 7
Série 8	Corrigé 8
Série 9	Corrigé 9
Série 10	Corrigé 10
Série 11	Corrigé 11
Série 12	Corrigé 12
Série 13	Corrigé 13
Série 14	Corrigé 14
Série 15	Corrigé 15
Série 16	Corrigé 16
Série 17	Corrigé 17
Série 18	Corrigé 18
Série 19	Corrigé 19
Série 20	Corrigé 20
Série 21	Corrigé 21
Série 22	Corrigé 22
Série 23	Corrigé 23
Série 24	Corrigé 24
Série 25	Corrigé 25
Série 26	Corrigé 26
Série 27	Corrigé 27