Algèbre linéaire II


Cours de 1ère année de Bachelor:
 Sections de mathématiques et de physique

 

Année académique 2009/2010

Semestre de printemps

Prof. Kathryn Hess Bellwald
SB IGAT

Assistante principale: Madeleine Jotz

Assistants: Matteo Paganin, Patrick Müller, Filip Moric, Dan Titus Salajan, Adrian Bock, Ilias Amrani

Assistants-étudiants: Dimitri Zaganidis, Rosalie Chevalley, David Pham, Thomas Gobet  

Contenu
Actuel
Horaire
Programme 
Bibliographie
Séries et corrigés 
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Contenu

"L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite;
la géométrie n'est qu'une algèbre figurée."
Sophie Germain

L’algèbre linéaire consiste en l’étude d’espaces vectoriels et d’applications linéaires entre espaces vectoriels.  Un espace vectoriel est un ensemble doté d’une opération d’ “addition” et d’une opération de “multiplication par scalaires”, lesquelles vérifient une certaine liste d’axiomes.  Ces axiomes gouvernent aussi bien les propriétés de chaque opération, que la compatabilité entre les deux opérations. Une application f d’un espace vectoriel V vers un espace vectoriel W est dite linéaire si elle respecte l’essentiel de cette structure.  Les applications linéaires servent à relier et à comparer les espaces vectoriels entre eux.

La notion d’espace vectoriel englobe des objets familiers aussi bien algébriques que géométriques :  l’ensemble de polynômes à coefficients réels et l’ensemble Rn des n-tuples de nombres réels admettent tous les deux des structures d’espace vectoriel.  L’algèbre linéaire nous permet ainsi de traduire dans un contexte purement algébrique des notions et façons de penser qui proviennent de la géométrie.

D’un point de vue computationnel, l’algèbre linéaire nous fournit des outils pour étudier les systèmes d’équations linéaires, que l’on peut décrire en termes de matrices.  Or une matrice à m lignes et n colonnes n’est qu’une façon de représenter une application linéaire de Rn vers Rm! Cette observation nous ouvre la porte à l’application des méthodes de l’algèbre linéaire à l’étude des solutions possibles de systèmes d’équations linéaires.

Dans ce cours nous prendrons une approche surtout axiomatique à l’algèbre linéaire, sans pour autant négliger les applications computationnelles de la théorie. 

 


Actuel

Il y aura une séance de réponses aux questions le mardi 29 juin de 8h15 à 12h en salle MA A1 11.

L'examen propédeutique d'algèbre linéaire 2 aura lieu le lundi 5 juillet de 12h15 à 15h15 en salles CE6, CE3, CE4, CESPO . Vous serez répartis de la manière suivante dans les salles:
Les étudiants de mathématiques:
En salle CESPO: A--N
En salle CE3: O--Z.
Les étudiants de physique:
En salle CE4: A--Gm
En salle CE6: Go--Z.

La série 25 a été actualisée. Il y avait un problème dans l'énoncé de l'exercice 3.1.

L'examen propédeutique de juin 2009.

Un fichier contenant quelques compléments de preuves.


Horaire

Cours: les lundis de 13h15 à 14h et les jeudis de 11h15 à 13h

Exercices: les lundis de 14h15 à 16h

Salles: CE/6 (cours); CO 010, CO 011, CO 122, CO 123, CO 124(exos)

Réponses aux questions: les vendredis de 12h à 13h en salle MAA330.


Programme

I.      Ensembles et applications

.        Eléments de la théorie des ensembles

 

II.    Espaces vectoriels de dimension finie

.        Corps, définition et propriétés d’espaces vectoriels, sous-espaces, sommes et sommes directes, indépendance linéaire, listes génératrices, bases, dimension

 

III.  Applications linéaires

.        Définition et exemples, noyau et image, isomorphismes, matrices associées aux applications linéaires

 

IV. Matrices et systèmes d’équations linéaires

.        Algorithme de Gauss-Jordan, inversion de matrices, un premier aperçu du déterminant

 

V.        Produits scalaires

.        Produits scalaires, normes, bases orthonormales, projections orthogonales et meilleures approximations

 

VI. Valeurs propres et vecteurs propres

.        Sous-espaces invariants, polynômes et opérateurs, matrices triangulaires, matrices diagonales

 

VII.      Opérateurs sur espaces avec produit scalaire

.        Fonctionnels linéaires et adjoints, opérateurs auto-adjoints et normaux, le théorème spectral, isométries

 

VIII. Opérateurs sur espaces vectoriels complexes

.        Valeurs propres généralisées, le polynôme caractéristique, la décomposition d’un opérateur, le polynôme minimal, la forme de Jordan

 

IX. La trace et le déterminant d'un opérateur complexe

.        Changements de base, la trace, le déterminant d’un opérateur, le déterminant d’une matrice

 


Bibliographie


S. Axler, Linear Algebra Done Right (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1997.

K. Hoffman et R. Kunze, Linear Algebra (Second Edition), Prentice Hall, 1971.

K. Jänich, Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1994.

S. Lang, Introduction to Linear Algebra (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.

R. Valenza, Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993.


Ce cours sera basé principalement sur le livre d’Axler.

 


Séries et corrigés

(fichiers pdf)

Série 1 Corrigé 1 Corrigé 1 (version à imprimer)
Série 2 Corrigé 2 Corrigé 2 (version à imprimer)
Série 3 Corrigé 3 Corrigé 3 (version à imprimer)
Série 4 Corrigé 4 Corrigé 4 (version à imprimer)
Série 5 Corrigé 5 Corrigé 5 (version à imprimer)
Série 6 Corrigé 6 Corrigé 6 (version à imprimer)
Série 7 Corrigé 7 Corrigé 7 (version à imprimer)
Série 8 Corrigé 8 Corrigé 8 (version à imprimer)
Test du 13 novembre Corrigé du test Corrigé du test (version à imprimer)
Série 9 Corrigé 9 Corrigé 9 (version à imprimer)
Série 10 Corrigé 10 Corrigé 10 (version à imprimer)
Série 11 Corrigé 11 Corrigé 11 (version à imprimer)
Série 12 Corrigé 12 Corrigé 12 (version à imprimer)
Série 13 Corrigé 13 Corrigé 13 (version à imprimer)
Série 14 Corrigé 14 Corrigé 14 (version à imprimer)
Série 15 Corrigé 15 Corrigé 15 (version à imprimer)
Série 16 Corrigé 16 Corrigé 16 (version à imprimer)
Série 17 Corrigé 17 Corrigé 17 (version à imprimer)
Série 18 Corrigé 18 Corrigé 18 (version à imprimer)
Série 19 Corrigé 19 Corrigé 19 (version à imprimer)
Série 20 Corrigé 20 Corrigé 20 (version à imprimer)
Série 21 Corrigé 21 Corrigé 21 (version à imprimer)
Série 22 Corrigé 22 Corrigé 22 (version à imprimer)
Test du 29 avril Corrigé du test Corrigé du test (version à imprimer)
Série 23 Corrigé 23 Corrigé 23 (version à imprimer)
Série 24 Corrigé 24 Corrigé 24 (version à imprimer)
Série 25 Corrigé 25 Corrigé 25 (version à imprimer)
Série 26 Corrigé 26 Corrigé 26 (version à imprimer)
Série 27 Corrigé 27 Corrigé 27 (version à imprimer)

 


D'autres fichiers à télécharger

(fichiers pdf)

Feuille d'informations générales

Les notes du cours 2007/08 de Fabien Margairaz...

... et la version écologique du fichier pdf!

Les nombres complexes et les polynômes (rappels utiles!)

Compléments: ensembles et applications

Le premier test de l'année passée...

... et le test avec les solutions (version à imprimer)

Comment définir la notion de "produit scalaire"

 

Dernière mise à jour: 21.06.10