Algèbre Homologique

Cours de 2e cycle de la Section de mathématiques
Semestre d'été 2004

Assistant: Sylvestre Blanc

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Le but primaire de l'algèbre homologique est d'étudier un anneau R par l'intermédiare de la catégorie formée de ses modules. L'invariance de Morita justifie cette démarche, car elle affirme que deux anneaux commutatifs sont isomorphes si et seulement si leurs catégories de modules sont équivalentes. Plus généralement, si les catégories de modules de deux anneaux (pas forcément commutatifs) sont équivalentes, alors les anneaux partagent beaucoup de propriétés importantes.

Les outils de base de cette étude sont le produit tensoriel et Hom (le module des homomorphismes de modules). En particulier on s'intéresse à la déviation d'exactitude de ces deux foncteurs. Etant donné une suite exacte courte de modules et un autre module M, on cherche à déterminer quand on obtient une nouvelle suite exacte lorsque l'on tensorise par M ou lorsque l'on applique Hom (M, - ) ou Hom ( - ,M). Si la nouvelle suite n'est pas exacte, on veut savoir à quel point elle est loin de l'être. Les foncteurs dérivés Tor et Ext servent à mesurer cette déviation.

L'algèbre homologique joue un rôle essentiel en topologie algébrique, en géométrie algébrique et, bien sûr, en algèbre (théorie des groupes, théorie des anneaux, etc.).

Horaire

Cours: les lundis de 12h à 14h

Exercices: les lundis de 14h à 16h

Salle: MA/31

Programme

I. Eléments de la théorie des catégories

A. Catégories, foncteurs et transformations naturelles

B. Foncteurs adjoints

II. Ext et Tor

A. Modules projectifs, injectifs et plats

B. Complexes de chaînes et résolutions

C. Suites exactes

D. Résolutions plates et injectives

III. La théorie de dimension

A. Dimensions d’un module et d’un anneau

B. Anneaux de polynômes

C. Anneaux locaux

D. Anneaux locaux réguliers

Bibliographie

S. Balcerzyk et T. Jozefiak, Commutative Rings: dimension, multiplicity and homological methods, Ellis Horwood, 1989.

P. Hilton et U. Stammbach, A Course in Homological Algebra, Graduate Texts in Mathematics 4, Springer-Verlag, 1971.

M. Scott Osborne, Basic Homological Algebra, Graduate Texts in Mathematics 196, Springer-Verlag, 2000.

J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, 1979.

Ce cours sera basé essentiellement sur le livre d'Osborne. Le livre de Rotman offre une approche plus orientée vers la théorie des anneaux, tandis que le livre classique de Hilton et Stammbach est plus axé vers la cohomologie des groupes. Le livre de Balcerzyk et Jozefiak sera notre source pour l’étude des anneaux de Gorenstein.