Théorie des Nœuds
Cours de master de la Section de mathématiques
Semestre d'hiver 2004/05
Prof. Kathryn Hess Bellwald
SB-IGAT
Assistant: Peter Bubenik
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En théorie des nœuds on cherche à classifier des nœuds—plongements du cercle dans R3—à isotopie (déformation continue de tout l’espace) près, par moyen des invariants de nœud. Ce domaine de recherche est actif depuis presque 150 ans. Depuis 20 ans et la découverte du polynôme de Jones, la théorie des nœuds connaît une expansion spectaculaire, grâce au développement de nombreux invariants puissants et à la découverte d’applications importantes en physique mathématique, biologie (ADN) et chimie (polymères).
Le but de ce cours est de présenter quelques invariants de nœud importants, aussi bien classiques que des plus modernes, en veillant à illustrer les avantages et les inconvenients de tous et à en montrer quelques applications.
Cours: les jeudis de 12h à 14h
Exercices: les mercredis de 15h à 17h
Salles: MA/30 (cours) et BCH 5101 (exos)
Programme
I. Eléments de la théorie des nœuds
II. Les écheveaux
III. L’algorithme de Kauffman et le polynôme de Jones
IV. La théorie des tresses
V. Les algèbres de Hecke
VI. L’existence du polynôme HOMFLY
Bibliographie
C. Adams, Why Not? An Introduction to the Mathematical Theory of Knots, Key Curriculum Press, 2004.
N. D. Gilbert et T. Porter, Knot and Surfaces, Oxford Science Publications, 1994.
W. B. R. Lickorish, An Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Mathematics 175, 1997.
V. Manturov, Knot Theory, Chapman & Hall/CRC, 2004.
Ce cours sera basé essentiellement sur le chapitres 1-7 et 12 du livre de Manturov. Le livre d’Adams, qui est en fait une BD (!), est fortment recommandé pour son approche ludique.
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Je vous conseille fortement de regarder ces sites, qui sont très chouettes! Dites-moi s’il vous plaît si vous trouvez d’autres sites intéressants, que je devrais mentionner ici.
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Vous trouverez ici, entre autre, des chapitres choisis d’un polycopié écrit pour un autre cours de théorie des nœuds que j’ai donné dans les années 1990.
Chapitre 5: Les algèbres de Hecke
Chapitre 6: L’existence du polynôme HOMFLY
Pour les chapitres 4 et 5 du cours, j’utiliserai les notions de groupe libre et de présentation de groupe. Voici des notes lesquelles peuvent servir de référence pour ces notions.