Institut de Géométrie, Algèbre et Topologie

Groupe de travail en topologie

Le théorème de h-cobordisme stable

le mardi ou le jeudi de 14h15 à 15h30

BCH 5112

 

 

Introduction

Programme

Bibliographie

Introduction

Le but de ce groupe de travail est d'étudier le Théorème de h-cobordisme stable, énoncé en 1979 par Waldhausen, mais démontré complètement par Jahren, Rognes et Waldhausen en 2008. Ce théorème précise la relation entre l'espace des h-cobordismes stabilisé sur une variété M, lequel est défini en termes de fibrés de variétés, et la K-théorie de Waldhausen de M, laquelle est définie de manière combinatoire et catégorique.

Soit CAT une des catégories géométriques suivantes: TOP (la catégorie des variétés topologiques), PL (la catégorie des variétés "linéaires par morceaux"), ou DIFF (la catégorie des variétés lisses). Soit M un objet de CAT, compact et de dimension d.

Un h-cobordisme sur M est un objet W de CAT de dimension d+1, dont le bord ∂W se décompose en la réunion le long de leur bord commun de deux sous-variétés M et N, chacune de codimension 0, de telle manière à ce que les deux inclusions de M et de N dans W soient des équivalences d'homotopie.

Soit H(M) l'espace des h-cobordismes sur M (lequel dépend du choix de CAT). L'espace de h-cobordismes stabilisé sur M, noté H _st(M), est alors la colimite sur k des espaces H(M x [0,1]^k).

Soit A(M) la K-théorie de Waldhausen de la variété M, laquelle est un espace de lacets infini. Le morphisme d'assemblage (assembly map) donne lieu à une suite de fibration homotopique, où l'espace total est A(M) et la base est un espace Wh(M), appelé espace de Whitehead (lequel dépend de nouveau de CAT).

Jahren, Rognes et Waldhausen montrent qu'il existe une équivalence d'homotopie naturelle entre H _st(M) et ΩWh(M), quelque soit le choix de CAT.

Ce semestre nous étudierons l'article de Jahren, Rognes et Waldhausen (voir la Bibliographie). Nous prendrons aussi le temps de rappeller la définition de la K-théorie de Waldhausen, ainsi que les résultats classiques de Smale et de Barden-Mazur-Stallings concernant les h-cobordismes et la torsion de Whitehead.

 

Programme

(Voir aussi le programme du séminaire de topologie, ainsi que ceux des groupes de travail précédents sur la théorie de Galois des S-algèbres, sur la dualité en algèbre et en topologie, sur la géométrie algébrique topologique et sur la K-théorie tordue.)

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Bibliographie

 

Friedhelm Waldhausen, Bjørn Jahren et John Rognes, Spaces of PL manifolds and categories of simple maps

Articles de Friedhelm Waldhausen concernant la K-théorie algébrique des espaces

 

Dernière mise à jour: le 07.05.09