Algèbre linéaire
Cours de 1ère année de Bachelor:
Sections de mathématiques et de physique
Année académique 2005/2006
Prof. Kathryn Hess Bellwald
SB-IGAT
Assistant principal: Jonathan Scott
Assistants: Ilias Amrani, Jan Brunner, Ana Devic, Ratiba Djelid, Mélanie Favre, Sébastien Guex, Gaël Haab, David Kohler
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"L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite;
la géométrie n'est qu'une algèbre figurée."
Sophie Germain
L’algèbre linéaire consiste en l’étude d’espaces vectoriels et d’applications linéaires entre espaces vectoriels. Un espace vectoriel est un ensemble doté d’une opération d’ “addition” et d’une opération de “multiplication par scalaires”, lesquelles vérifient une certaine liste d’axiomes. Ces axiomes gouvernent aussi bien les propriétés de chaque opération, que la compatabilité entre les deux opérations. Une application f d’un espace vectoriel V vers un espace vectoriel W est dite linéaire si elle respecte l’essentiel de cette structure. Les applications linéaires servent à relier et à comparer les espaces vectoriels entre eux.
La notion d’espace vectoriel englobe des objets familiers aussi bien algébriques que géométriques : l’ensemble de polynômes à coefficients réels et l’ensemble Rn des n-tuples de nombres réels admettent tous les deux des structures d’espace vectoriel. L’algèbre linéaire nous permet ainsi de traduire dans un contexte purement algébrique des notions et façons de penser qui proviennent de la géométrie.
D’un point de vue computationnel, l’algèbre linéaire nous fournit des outils pour étudier les systèmes d’équations linéaires, que l’on peut décrire en termes de matrices. Or une matrice à m lignes et n colonnes n’est qu’une façon de représenter une application linéaire de Rn vers Rm! Cette observation nous ouvre la porte à l’application des méthodes de l’algèbre linéaire à l’étude des solutions possible de systèmes d’équations linéaires.
Dans ce cours nous prendrons une approche surtout axiomatique à l’algèbre linéaire, sans pour autant négliger les applications computationnelles de la théorie.
Cours: les lundis de 13h15 à 14h et jeudis de 11h15 à 13h
Exercices: les lundis de 14h15 à 16h
Réponses aux questions: les mercredis de 13h à 14h
Salles: CO 1 (cours lundi) et CE 6 (cours jeudi), CM 011(réponses aux questions)
. Eléments de la théorie des ensembles, relations d’équivalence
II. Espaces vectoriels de dimension finie
. Corps, définition et propriétés d’espaces vectoriels, sousespaces, sommes et sommes directes, indépendance linéaire, listes génératrices, bases, dimension
III. Applications linéaires
. Définition et exemples, noyau et image, matrices, applications inversibles
IV. Polynômes
. Notion de degré, polynômes à coefficients complexes, polynômes à coefficients réels
V. Valeurs propres et vecteurs propres
. Sousespaces invariants, polynômes et opérateurs, matrices triangulaires, matrices diagonales.
Intermezzo: Matrices et systèmes d’équations linéaires
. Produits scalaires, normes, bases orthonormales, projection orthogonales et minimisation, fonctionnels linéaires et adjoints
VII. Opérateurs sur espaces avec produit scalaire
. Opérateurs auto-adjoints et normaux, le théorème spectral, isométries
VIII. Opérateurs sur espaces vectoriels complexes
. Valeurs propres généralisées, le polynôme caractéristique, la décomposition d’un opérateur, le polynôme minimal, la forme de Jordan
IX. Opérateurs sur espaces vectoriels réels
. Valeurs propres de matrices carrées, matrices triangulaires par blocs, le polynôme caractéristique
XI. La trace et le déterminant
. Changements de base, la trace, le déterminant d’un opérateur, le déterminant d’une matrice, volume
S. Axler, Linear Algebra Done Right (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1997.
K. Hoffman et R. Kunze, Linear Algebra (Second Edition), Prentice Hall, 1971.
K. Jänich, Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1994.
S. Lang, Introduction to Linear Algebra (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.
R. Valenza, Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993.
Ce cours sera basé principalement sur le livre d’Axler.
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Feuille d’informations générales
Corrigé du travail écrit du 16.12
Comment définir la notion de produit scalaire