Algèbre linéaire 


Cours de 1ère année de Bachelor:

 Sections de mathématiques et de physique

 
Année académique 2005/2006
 

Prof. Kathryn Hess Bellwald
SB-IGAT

Assistant principal:  Jonathan Scott

Assistants: Ilias Amrani, Jan Brunner, Ana Devic, Ratiba Djelid, Mélanie Favre, Sébastien Guex, Gaël Haab, David Kohler 

Contenu
Horaire

Programme 
Bibliographie  
Séries et corrigés
D'autres fichiers à télécharger


Contenu

"L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite;
la géométrie n'est qu'une algèbre figurée."
Sophie Germain

L’algèbre linéaire consiste en l’étude d’espaces vectoriels et d’applications linéaires entre espaces vectoriels.  Un espace vectoriel est un ensemble doté d’une opération d’ “addition” et d’une opération de “multiplication par scalaires”, lesquelles vérifient une certaine liste d’axiomes.  Ces axiomes gouvernent aussi bien les propriétés de chaque opération, que la compatabilité entre les deux opérations. Une application f d’un espace vectoriel V vers un espace vectoriel W est dite linéaire si elle respecte l’essentiel de cette structure.  Les applications linéaires servent à relier et à comparer les espaces vectoriels entre eux.

La notion d’espace vectoriel englobe des objets familiers aussi bien algébriques que géométriques :  l’ensemble de polynômes à coefficients réels et l’ensemble Rn des n-tuples de nombres réels admettent tous les deux des structures d’espace vectoriel.  L’algèbre linéaire nous permet ainsi de traduire dans un contexte purement algébrique des notions et façons de penser qui proviennent de la géométrie.

D’un point de vue computationnel, l’algèbre linéaire nous fournit des outils pour étudier les systèmes d’équations linéaires, que l’on peut décrire en termes de matrices.  Or une matrice à m lignes et n colonnes n’est qu’une façon de représenter une application linéaire de Rn vers Rm! Cette observation nous ouvre la porte à l’application des méthodes de l’algèbre linéaire à l’étude des solutions possible de systèmes d’équations linéaires.

Dans ce cours nous prendrons une approche surtout axiomatique à l’algèbre linéaire, sans pour autant négliger les applications computationnelles de la théorie. 


Horaire

Cours: les lundis de 13h15 à 14h et jeudis de 11h15 à 13h


Exercices:
les lundis de 14h15 à 16h

Réponses aux questions: les mercredis de 13h à 14h
 

Salles: CO 1 (cours lundi) et CE 6 (cours jeudi), CM 011(réponses aux questions)


Programme

I.      Ensembles et applications

.        Eléments de la théorie des ensembles, relations d’équivalence

II.    Espaces vectoriels de dimension finie

.        Corps, définition et propriétés d’espaces vectoriels, sousespaces, sommes et sommes directes, indépendance linéaire, listes génératrices, bases, dimension

III.  Applications linéaires

.        Définition et exemples, noyau et image, matrices, applications inversibles

IV.   Polynômes

.        Notion de degré, polynômes à coefficients complexes, polynômes à coefficients réels

V. Valeurs propres et vecteurs propres

.        Sousespaces invariants, polynômes et opérateurs, matrices triangulaires, matrices diagonales.

Intermezzo: Matrices et systèmes d’équations linéaires

VI.        Produits scalaires

.        Produits scalaires, normes, bases orthonormales, projection orthogonales et minimisation, fonctionnels linéaires et adjoints

VII.      Opérateurs sur espaces avec produit scalaire

.        Opérateurs auto-adjoints et normaux, le théorème spectral, isométries

VIII. Opérateurs sur espaces vectoriels complexes

.        Valeurs propres généralisées, le polynôme caractéristique, la décomposition d’un opérateur, le polynôme minimal, la forme de Jordan

IX.   Opérateurs sur espaces vectoriels réels

.        Valeurs propres de matrices carrées, matrices triangulaires par blocs, le polynôme caractéristique

XI. La trace et le déterminant

.        Changements de base, la trace, le déterminant d’un opérateur, le déterminant d’une matrice, volume


Bibliographie

S. Axler, Linear Algebra Done Right (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1997.

K. Hoffman et R. Kunze, Linear Algebra (Second Edition), Prentice Hall, 1971.

K. Jänich, Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1994.

S. Lang, Introduction to Linear Algebra (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.

R. Valenza, Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993.


Ce cours sera basé principalement sur le livre d’Axler.  


Séries et corrigés

(fichiers pdf)

Série 1

Corrigé 1

Série 2

Corrigé 2

Série 3

Corrigé 3

Série 4

Corrigé 4

Série 5

Corrigé 5

Série 6

Corrigé 6

Série 7

Corrigé 7

Série 8

Corrigé 8

Série 9

Corrigé 9

Série 10

Corrigé 10

Série 11

Corrigé 11

Série 12

Corrigé 12

Série 13

Corrigé 13

Série 14

Corrigé 14

Série 15 Corrigé 15
Série 16 Corrigé 16
Série 17 Corrigé 17
Série 18 Corrigé 18
Série 19 Corrigé 19
Série 20 Corrigé 20
Série 21 Corrigé 21
Série 22 Corrigé 22
Série 23 Corrigé 23
Série 24 Corrigé 24
Série 25 Corrigé 25
Série 26 Corrigé 26
Série 27 Corrigé 27

Fichiers à télécharger

(fichiers pdf)

Feuille d’informations générales

Travail écrit du 16 décembre

Corrigé du travail écrit du 16.12

L’algorithme de Gauss-Jordan

Comment définir la notion de produit scalaire

Déterminants: un bref survol

Travail écrit du 16.03

Corrigé du travail écrit du 16.03

Travail écrit du 08.06

Corrigé du travail écrit du 08.06

p