Institut de Géométrie, Algèbre et
Topologie
Groupe de travail en topologie
Théorie de Galois des spectres d’anneau commutatifs
les mercredis de 9h15 à 10h30
(nouvel horaire!)
BCH 2101
Introduction
Le but de
ce séminaire est d’étudier la nouvelle et très belle théorie de Galois développée
par John Rognes pour les spectres d’anneau commutatifs, une partie essentielle
de son programme d’étude de l’arithmétique de ces “brave new rings”.
La notion
de “spectre d’anneau” généralise homotopiquement la notion d’anneau. Très grossièrement, un spectre consiste en une famille d’espaces topologiques X={Xn | n entier } avec une famille d’applications continues sn
de la suspension SXn de Xn
vers Xn+1 , pour tout n. Le spectre des sphères S={Sn | n ≥0}, où les applications sn sont des homéomorphismes, en est un exemple très important.
Si l’on
fait attention à la définition précise de “spectre” que l’on utilise, il est
possible de construire le “produit tensoriel” (appelé le “smash”) de deux
spectres X et Y, noté X^Y. En particulier, les spectres forment
une catégorie monoïdale, dont S est l’objet identité.
Dès lors,
on peut dire qu’un spectre d’anneau est un spectre X doté d’une “multiplication” associative m de X^X vers X et d’une “unité” h de S vers X, qui vérifient les
axiomes usuels d’un anneau.
Autrement dit, un spectre d’anneau est un monoïde dans une catégorie
monoïdale appropriée de spectres.
Il est commutatif si sa
multiplication vérifie mt=m, où t est un morphisme de permutation des coordonnées.
Une
motivation pour l’étude des spectres provient des théories de cohomologie
généralisées. Le Théorème de représentabilité de Brown nous dit que si E* est une théorie de cohomologie généralisée qui vérifie l’axiome du
wedge, alors il existe un spectre de CW-complexes E tel que,
·
pour tout n, l’adjoint de l’application de structure sn soit une équivalence d’homotopie, et
·
pour tout espace X et pour tout n, le nème groupe de cohomologie E*(X) soit isomorphe au groupe de classes d’homotopie [X,En].
Nous
rappellerons d’abord la théorie de Galois des anneaux commutatifs, qui sert de
modèle pour la théorie que nous étudierons. Ensuite nous définirons plus précisément les objets avec
lesquels nous travaillerons: des monoïdes commutatifs soit dans la catégorie de
S-algèbres, soit dans la catégories des spectres symétriques. Nous serons prêts dès lors à commencer
notre étude de cette nouvelle thèorie de Galois.
Programme
(provisoire)
(Voir aussi le
programme du séminaire
de topologie.)
|
Date |
Sujet |
Orateur |
|
08.03.05 |
Théorie de
Galois des anneaux commutatifs I |
Kathryn Hess |
|
15.03.05 |
Théorie de
Galois des anneaux commutatifs II |
Kathryn Hess |
|
22.03.05 |
Catégories
monoïdales de spectres I |
Alain Jeanneret |
|
29.03.05 |
Catégories
monoïdales de spectres II |
Alain Jeanneret |
|
05.04.05 |
Spectres
dualisables |
Jonathan Scott |
|
12.04.05 |
Groupes
stablement dualisables |
Jonathan Scott |
|
19.04.05 |
Extensions de Galois
de spectres d’anneau: définitions et fidelité |
Kathryn Hess |
|
03.05.05 |
Extensions de
Galois de spectres d’anneau: exemples I (spectres d’Eilenberg-MacLane) |
Alain Jeanneret |
|
10.05.05 |
Extensions de Galois
de spectres d’anneau: exemples (KO et KU) |
Alain Jeanneret |
|
17.05.05 |
Equivalences
étendues et dualisabilité |
Peter Bubenik |
|
24.05.05 |
Caractérisations
équivalentes d’extensions de Galois et modules “smash-inversibles” |
Peter Bubenik |
|
31.05.05 |
Modules
smash-inversibles |
Jonathan Scott |
|
07.06.05 |
La “brave new”
correspondance de Galois I |
Jonathan Scott |
|
14.06.05 |
Le complexe
d’Amitsur |
Kathryn Hess |
|
26.10.05 |
Résumé de la
théorie de Galois des spectres d’anneau |
Kathryn Hess |
|
02.11.05 |
Extensions
séparables |
Kathryn Hess |
|
09.11.05 |
Théories
d’obstruction et la suite spectrale de Goerss-Hopkins |
Kathryn Hess |
|
16.11.05 |
Clôture
séparable |
Sverre
Lunøe-Nielsen |
|
23.11.05 |
La “brave new” correspondance
de Galois II |
Sverre
Lunøe-Nielsen |
|
30.11.05 |
Pause |
Tous ! |
|
07.12.05 |
La “brave new”
correspondance de Galois II, continuation |
Sverre
Lunøe-Nielsen |
|
14.12.05 |
Extensions de
Hopf-Galois |
Jonathan Scott |
|
19.01.06 |
Algèbres étales |
Ilias Amrani |
Bibliographie
Galois extensions of
structured ring spectra, J.
Rognes (preprint, 2005).
Realizability of algebraic
Galois extensions by strictly commutative ring spectra, A. Baker and B. Richter (preprint, 2004).