Abstracts

Benoît Fresse: On considère le complex Bar réduit classique des algèbres associatives. Si le produit de A est commutatif, alors ce complexe B(A) possède toujours une structure d'algèbre commutative, fournie par le produit shuffle des tenseurs. Cette propriété se généralise aux algèbres E-infini, commutatives à homotopie près : le complexe Bar d'une algèbre E-infini possède encore une structure d'algèbre E-infini.
Le but de cet exposé sera de donner un théorème d'existence et d'unicité pour ce théorème de structure. On insistera sur la partie unicité : cette propriété rend la construction de structures E-infini plus facile et plus flexible. On pourra ainsi donner une démonstration rapide du théorème d'existence. On donnera également une interprétation de la structure obtenue dans le cadre de l'algèbre homotopique.
Cette étude est motivé par le problème d'Adams classique : la construction d'un complexe Bar itéré pour déterminer l'homologie d'espaces de lacets itérés.

 

Wojciech Chacholski: An explicit classification of thick subcategories of finite spectra has been an important achievement of homotopy theory. This stable classification has been used to give an explicit classification of unstable Bousfield classes of finite suspension spaces. In contrast, analogous classification of cellular classes of finite (suspension) spaces is out of reach, as that would lead to a classification of ideals in the stable homotopy groups of spheres.

Thick subcategories of compact objects in the derived category of a ring are also well understood. This can be used to describe Bousfield classes of perfect
non-negative chain complexes (the unstable analog). However, as for spaces, the classification of cellular classes is much more subtle. The aim of this talk is to explain an elementary proof of Hopkins-Neeman-Thomason classification and give some example of rings for which classification of cellular classes can be obtained.

 

Geoffrey Powell: La filtration nilpotente de la catégorie des modules instables, introduite par Schwartz et étudiée dans les travaux de Henn, Lannes et Schwartz, donne lieu à des invariants importants d'un K-module instable finiment engendré M, ou K est une algèbre instable noethérienne. En particulier, d_0 M est le plus petit nombre naturel t pour lequel M se plonge dans un objet nil-t-fermé. Par exemple, donner une borne supérieure efficace pour d_0 H* (BG), associé à la cohomologie d'un groupe fini, s'avère un problème intéressant et difficile.

Il est naturel d'étudier le comportement de ses invariants par rapport au changement de base associé à un morphisme de modules instables K-->L. Cette étude dégage certaines propriétés fondamentales, en particulier une notion de faiblement Cohen-Macaulay, qui est reliée à la notion classique par le théorème de Bourguiba-Zarati sur la profondeur des modules sur une algèbre instable. Cet exposé développera les éléments de base de cette théorie.

 

Gavin Seal: En 1969, Manes démontra que la catégorie des algèbres de Eilenberg-Moore associées à la monade des ultrafiltres était en fait la catégorie des espaces topologiques compacts de Hausdorff. En affaiblissant les axiomes de ces algèbres, Barr montra une annéee plus tard que les espaces topologique eux-mêmes pouvait bénéficier d'un traitement similaire. Malgré les structures sous-jacentes étonnantes que ces résultats mettent en valeur, ces concepts n'ont commencé à révéler leur potentiel que récemment, lorsque Möbus et d'autres ont démontré que le language de ces "algèbres laxes" se prêtait admirablement bien à l'étude de concepts liés à l'exponentiabilité topologique. De plus, en 2003, Clementino, Hofmann et Tholen on mis sur pied un cadre théorique pour les algèbres laxes qui présente les espaces métriques généralisés de Lawvere ainsi que les espaces d'approche de Lowen comme nouveaux exemples de ces structures, ouvrant ainsi la voie à de nombreux développements.

 

Steve Lack: This talk is intended to be an introduction to 2-category theory for homotopy theorists. I will describe how any 2-category can be
regarded as a homotopy theory; indeed one of a particularly simple kind, in which nothing interesting happens above dimension 2. (This is the reason for the word "degenerate" in the title.) Degenerate homotopy theory does not entirely reduce to 2-category theory, however, for a given 2-category can give rise to a degenerate homotopy theory in several different ways.

The basic technical tool is a Cat-enriched version of Quillen's notion of model category.

 

Fridolin Roth: The Lusternik-Schnirelmann-category of a topological space is a numerical homotopy invariant. Originally introduced in the context of Morse theory, related invariants like sectional category also show up in the context of immersion and complexity questions. I will give a brief introduction to Lusternik-Schnirelmann-theory with the aim to report on the investigation of the Lusternik-Schnirelmann-category of the ordered and unordered configuration spaces of k points in R^n. This is closely related to the sectional category of the associated fibrations which attracted some attention in case n=2. In this case calculations have been done by Vassiliev and recently by DeConcini et al. and Arone. In the general situation we obtain bounds for all pairs (n,k) and precise results for example if k is a power of 2. The precise determination for arbitrary k is still open, even for n=2.

 

Michael Joachim: The Gromov-Lawson-Rosenberg Conjecture states that a connected closed spin manifold of dimension ≥5 admits a metric of positive scalar curvature if and only if a certain index theoretic obstruction, the so-called alpha-invariant vanishes. This invariant lies in an abelian group which only depends on the fundamental group and the dimension of the manifold. Schick showed that the Gromov-Lawson-Rosenberg Conjecture does not hold in general, however one may ask whether or not it holds for manifolds of the above sort with a prescribed fundamental group. Up to now no finite group is known for which the modified Gromov-Lawson-Rosenberg Conjecture does not hold. On the other hand there only is a small list of finite groups for which the modified Gromov-Lawson-Rosenberg Conjecture indeed is verified. In our talk we will report on the present state of affairs concerning this question. In particular we will concentrate on the cases where the fundamental group is an elementary abelian group or a dihedral group, respectively.

 

Michael Farber: In various fields of applications, such as topological robotics, configuration spaces of mechanical systems depend on a large number of parameters which typically are only partially known and often can be considered as random variables. In the talk I will describe recent results about mathematical expectations of Betti numbers of configuration spaces of planar linkages where the lengths of bars of the linkage are viewed as random variables. Varieties of linkages are also known as polygon spaces, they appear in topological robotics, in statistical shape theory and in some other fields. The main result of my talk gives explicit asymptotic formulae for these expectations when the number of links tends to infinity.

 

Clemens Berger: Différentes méthodes sont connues pour définir une structure mathématique. Parmi les plus utilisées se trouvent les monades, les théories et les opérades. Une théorie peut être considérée comme une monade de type particulier, et une opérade peut être considérée comme une théorie de type particulier. J'expliquerai cette hierarchie dans deux exemples:

(a) Les théories algébriques de Lawvere correspondent à des monades ensemblistes qui préservent les colimites filtrantes, et les opérades symétriques s'identifient alors aux théories algébriques qui sont ``homogènes'';

(b) Les théories globulaires sont des monades sur les ensembles globulaires qui préservent un certain type de colimites, et les opérades globulaires de Batanin s'identifient alors aux théories globulaires ``homogènes''.

 

Aurélien Djament: Soit F la catégorie des foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps fini premier F_p. Cette catégorie, dite des représentations génériques des groupes linéaires sur F_p a été étudiée systématiquement depuis qu'ont été mis en évidence ses liens avec les modules instables sur l'algèbre de Steenrod (travaux de Henn-Lannes-Schwartz). L'intérêt pour F s'est également accru avec le théorème de Betley-Suslin exprimant des groupes de cohomologie stabilisée des groupes linéaires à l'aide de groupes d'extensions dans la catégorie F.

De nombreux calculs cohomologiques ont été effectués dans la catégorie F, et ses objets simples sont classifiés. Pour autant, la structure globale de cette catégorie demeure très mal connue : on ignore toujours si elle est localement noethérienne. Motivés par ce problème, nous introduirons les foncteurs en grassmanniennes, qui permettent de donner une description conjecturale de la filtration de Krull de F et de progresser dans l'étude de ses propriétés de finitude. Ils apportent également un nouveau résultat cohomologique grâce auquel on peut généraliser celui de Betley-Suslin.

 

Jérôme Scherer: Je commencerai par rappeler comment construire les invariants de Postnikov d'un espace. Dans le cas d'un espace avec seulement trois
groupes d'homotopie non nuls, deux invariants suffisent en principe à le reconstruire. Il existe aussi une approche globale due à Dwyer, Kan et Smith. Je comparerai les deux approches et nous verrons alors comment répondre à la question du titre. Il s'agit d'un projet avec Jesper Møller.

 

 

 

Dernière mise à jour: 23.08.07