Institut de Géométrie, Algèbre et Topologie

Groupe de travail

Géométrie algébrique topologique

le jeudi de 14h15 à 15h30

BCH 5112

Introduction

Programme

Bibliographie

Introduction

 

Le but de ce séminaire est d’étudier la géométrie algébrique des spectres d’anneau commutatifs, comme développée par Lurie et par Toën et Vezzosi. Cette nouvelle théorie, à l'intersection de la géométrie algébrique et de la topologie algébrique s'appelle la géométrie algébrique topologique (ou géométrie algébrique dérivée ou géométrie algébrique spectrale ou "Brave New Algebraic Geometry" ou...).

La notion de “spectre d’anneau” généralise homotopiquement la notion d’anneau.  Très grossièrement, un spectre consiste en une famille d’espaces topologiques X={X_n | n entier } avec une famille d’applications continues s_n de la suspension SX_n  de X_n vers X_n+1 , pour tout n. Le spectre des sphères S={Sⁿ | n ≥0}, où les applications s_n sont des homéomorphismes, en est un exemple très important.

Si l’on fait attention à la définition précise de “spectre” que l’on utilise, il est possible de construire le “produit tensoriel” (appelé le “smash”) de deux spectres X et Y, noté X^Y.  En particulier, les spectres forment une catégorie monoïdale, dont S est l’objet identité. 

Dès lors, on peut dire qu’un spectre d’anneau est un spectre X doté d’une “multiplication” associative m de X^X vers X et d’une “unité” h de S vers X, qui vérifient les axiomes usuels d’un anneau.  Autrement dit, un spectre d’anneau est un monoïde dans une catégorie monoïdale appropriée de spectres.  Il est commutatif si sa multiplication vérifie mt=m, où t est un morphisme de permutation des coordonnées.

Le zéroième-groupe d'homotopie d'un spectre d'anneau est un anneau, dans le sens usuel du terme. Ainsi un spectre d'anneau peut être vu comme un enrichissement topologique d'un anneau usuel.

Une motivation pour l’étude des spectres provient des théories de cohomologie généralisées E^*, telles que la cohomologie singulière, la K-théorie topologique, la cohomologie élliptique et le cobordisme. Dans ces cas, il existe un spectre d'anneau E tel que pour tout espace X et tout n, le n^ième groupe de E-cohomologie de X est isomorphe au groupe de classes d'homotopie [X,E_n].

Nous commencerons ce groupe de travail par un survol d'un semestre de la géométrie algébrique classique des anneaux. Ensuite nous étudierons l'extension de ce cadre aux spectres d'anneau. Notre but ultime est de comprendre la construction de Lurie du spectre d'anneau tmf des formes modulaires topologiques.

 

Programme

(Voir aussi le programme du séminaire de topologie , ainsi que ceux des groupes de travail précédents sur la théorie de Galois des S-algèbres et sur la dualité en algèbre et en topologie.)

(La date est en orange si le groupe de travail a lieu le jeudi.)