Institut de Géométrie, Algèbre et Topologie

Groupe de travail en topologie

K-théorie tordue

le mardi ou le jeudi de 14h15 à 15h30

BCH 5112

 

 

Introduction

Programme

Bibliographie

Introduction

Soit R* une théorie de cohomologie représentée par un spectre R. Une torsion de R* au dessus d'un espace X consiste en un fibré π de base X et de fibre R; la R*-cohomologie tordue de X y associée est alors le groupe des classes d'homotopie des sections du fibré π.

La cohomologie singulière à coefficients locaux est un exemple classique d'une théorie de cohomologie tordue. De travailler avec des coefficients locaux nous permet d'étendre la dualité de Poincaré, normalement énoncée pour les variétés orientables, aussi aux variétés nonorientables.

Lorsque la théorie de cohomologie en question est la K-théorie topologique, la dualité de Poincaré s'exprime toujours en termes de torsions, même pour les variétés orientables. On voit donc que la K-théorie tordue joue un rôle fondamental en topologie algébrique des variétés.

Depuis le début des années 2000, il y a une nouvelle vague d'intérêt pour la K-théorie tordue, grâce aux liens étroits découverts avec la théorie des cordes. En effet, un représentant d'un B-champ (B-field) sur une variété X est précisément la donnée nécessaire à la définition d'une torsion de KU* au dessus de X. La K-théorie tordue associée mesure la charge d'une D-brane en présence du B-champ donné.

Par ailleurs, le magnifique Théorème d'Isomorphisme de Freed, Hopkins et Teleman, qui ont récemment appliqué la K-théorie tordue à l'étude de la théorie des représentations, nous fournit encore une motivation mathématique et physique pour étudier la K-théorie tordue, surtout dans une version équivariante. Pour tout groupe de Lie compact et connexe G, ils ont montré que l'algèbre de Verlinde des représentations projectives et à énergie positive de niveau t du groupe LG des lacets libres sur G est isomorphe en tant qu'algèbre à la K-théorie équivariante tordue de G, agissant sur lui-même par conjugaison, où la torsion est exprimée en fonction du niveau t de la représentation. (Le niveau d'une représentation projective et à énergie positive de LG est la classe de l'extension correspondante de LG par U(1).)

Le Théorème d'Isomorphisme permet donc de décrire le produit fusion de l'algèbre de Verlinde de manière purement topologique. De plus, pour tout groupe de Lie compact G et tout niveau, l'algèbre de Verlinde associée s'étend en une théorie de champs topologique conforme. Ainsi, le Théorème d'Isomorphisme nous donne un moyen topologique de construire des théories de champs topologiques conformes.

Le but de ce groupe de travail est de réussir à comprendre l'énoncé du Théorème d'Isomorphisme. Nous commencerons par une5 étude de la K-théorie tordue nonéquivariante des espaces topologiques, avant de considérer le cas équivariant, aussi bien pour des groupes Lie compacts que pour des groupes discrets. Ensuite, nous étudierons le cadre plus général du travail de Freed-Hopkins-Teleman, la K-théorie tordue des groupoïdes topologiques, pour finir par un bref aperçu de l'algèbre de Verlinde et une description de l'isomorphisme de Freed-Hopkins-Teleman.

Pendant cette étude nous appliquerons des outils analytiques (espaces de Hilbert, algèbres d'opérateurs), homotopiques (théories de cohomologie, spectres), géométriques (mesures de Haar, groupes de Lie), algébriques (représentations de groupes) et catégoriques (groupoïdes, stacks).

 

 

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